Hình học 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng | Tài liệu học tập và bài giảng online

Bạn đang cần tìm Hình học 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng | Tài liệu học tập và bài giảng online? Mọi ý kiến đóng góp với giasubachkhoa tại mục liên hệ để cộng đồng có thêm nhiều bài giảng và bài tập hay. Cảm ơn các bạn luôn ủng hộ chúng tôi.

Bài viết này về: Hình học 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng | Tài liệu học tập và bài giảng online

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm, cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, các tính chất, định lý liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, mối liên hệ giữa quan hệ song song quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,…

Contents

Xem thêm:  Hình học 11 Bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

Đường thẳng a được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu a vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P). 

Kí hiệu: (a bot left ( P right ))

Định nghĩa đường thẳng vuông góc mặt phẳng

(a bot mp(P) Leftrightarrow a bot c,forall c subset (P))

1.2. Định lý

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b của mặt phẳng (P) thì (d bot left ( P right ).)

Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

1.4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

a) Tính chất 1

  • Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

(left. begin{array}{l} a//b\ left( alpha right) bot a end{array} right} Rightarrow left( alpha right) bot b)

  • Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

(left. begin{array}{l} a bot (alpha )\ b bot (alpha )\ a ne b end{array} right} Rightarrow a//b)

b) Tính chất 2

  • Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Xem thêm:  Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản | Tài liệu học tập và bài giảng online

(left. begin{array}{l} a bot (alpha )\ left( alpha right)//left( beta right) end{array} right} Rightarrow left( alpha right) bot left( beta right))

  • Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

 

(left. begin{array}{l} a bot (alpha )\ a bot left( beta right)\ left( alpha right) ne left( beta right) end{array} right} Rightarrow left( alpha right)//left( beta right))

c) Tính chất 3

  • Cho đường thẳng a và mặt phẳng (left ( alpha right )) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (left ( alpha right )) thì cũng vuông góc với a.

(left. begin{array}{l} a//(alpha )\ b bot left( alpha right) end{array} right} Rightarrow b bot a)

  • Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

(left. begin{array}{l} a bot b\ b bot left( alpha right)\ a notsubset left( alpha right) end{array} right} Rightarrow a//left( alpha right))

1.5. Định lý ba đường vuông góc

Cho đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (left ( alpha right )) và b là đường thẳng không thuộc (left ( alpha right )) đồng thời không vuông góc với (left ( alpha right )). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (left ( alpha right )). Kho đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.

Xem thêm:  Hình học 11 Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Định lý 3 đường vuông góc

1.6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

  • Góc giữa đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (left ( alpha right )) là góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên mặt phẳng (left ( alpha right )).

  • Đặc biệt: Nếu d vuông góc với mặt phẳng (left ( alpha right )) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (left ( alpha right )) là 90.

Bài tập minh họa

 

[wpcc-script type=”text/javascript”]
[wpcc-script type=”text/javascript” src=”https://ss.yomedia.vn/js/yomedia-sdk.js?v=3″ id=”s-8701f44d62d54250b122748815c71b40″]

 

[wpcc-script type=”text/javascript”]
[wpcc-script type=”text/javascript” src=”https://ss.yomedia.vn/js/yomedia-sdk.js?v=3″ id=”s-15c47dbd541741bd976281bcda70b78c”]

Ví dụ 1: 

Cho hình chóp  S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, (SA bot (ABC).)

a) Chứng minh rằng: (BC bot (SAC)).

b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng: (AE bot (SBC).)

c) Gọi (P) là mặt phẳng qua AE và vuông góc với SB, (P) giao với SB tại D. Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: (AF bot (SAB).)

Lời giải:

Cho hình chóp  S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C

a) Ta có: (BC bot AC{rm{ }}(gt){rm{ (1)}})

Mặt khác: (left. begin{array}{l} SA bot (ABC)\ BC subset (ABC) end{array} right} Rightarrow SA bot BC,,(2))

Xem thêm:  Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai | Tài liệu học tập và bài giảng online

Từ (1) và (2) suy ra: (BC bot (SAB).)

b) Ta có: (AE bot SC{rm{ (3) (gt)}})

Theo câu a ta có: (BC bot (SAB) Rightarrow AE bot BC{rm{ (4)}})

Từ (3) (4) suy ra: (AE bot (SBC).)

c) Ta có mặt phẳng (P) chính là mặt phẳng (ADE).

Từ (left. begin{array}{l} SA bot (ABC)\ AF subset (ABC) end{array} right} Rightarrow AF bot SA{rm{ (5)}})

Do (SB bot (ADE) Rightarrow AF bot SB{rm{ (6)}}).

Từ (5) (6) suy ra: (AF bot (SAB).)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, (SA bot (ABCD)), AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh rằng: Tam giác SCD vuông.

Lời giải:

Hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B

Ta có: (left. begin{array}{l} SA bot (ABCD)\ CD subset (ABCD) end{array} right} Rightarrow SA bot CD(1))

Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông.

Do đó, (widehat {ACI} = {45^0}.) (*)

Mặt khác tam giác CID vuông cân tại I nên (widehat {BCI} = {45^0}.) (**)

Từ (*) (**) suy ra: (widehat {ACD} = {90^0}) hay (AC bot CD (2)).

Từ (1) và (2) suy ra: (CD bot (SAC) Rightarrow CD bot SC).

Hay tam giác SCD vuông tại C.

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, (SA = asqrt 6). Tính sin của góc giữa:

Xem thêm:  Hình học 11 Bài 1: Vectơ trong không gian | Tài liệu học tập và bài giảng online

a) SC và (SAB).

b) AC và (SBC).

Lời giải:

Hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a

a) Ta có: (BC bot AB{rm{ (gt)}}).

(SA bot BC) (Vì (SA bot (ABCD)))

Suy ra: (BC bot (SAB).)

Do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAB).

(Rightarrow (SC,(SAB)) = widehat {BSC}.)

Ta có: (sin (SC,(SAB)) = sin widehat {BSC} = frac{{BC}}{{SC}} = frac{a}{{sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = frac{{sqrt 2 }}{4}).

b) Trong  mặt phẳng (SAB) kẻ: (AH bot SB{rm{ (H}} in {rm{SB)}}.)

Theo câu a ta có: (BC bot (SAB) Rightarrow AH bot BC) nên (AH bot (SBC)) hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mặt phẳng (SBC).

(Rightarrow (AC,(SBC)) = widehat {ACH}.)

Xét tam giác vuông SAB có: (frac{1}{{A{H^2}}} = frac{1}{{A{B^2}}} + frac{1}{{S{A^2}}} = frac{7}{{6{a^2}}} Rightarrow AH = a.sqrt {frac{6}{7}} .)

Vậy: (sin (AC,(SBC)) = sin widehat {ACH} = frac{{AH}}{{AC}} = frac{{sqrt {21} }}{7}.) 

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm, cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, các tính chấtđịnh lý liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳngmối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,…

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

.dsch li{list-style:none;}
.box-title-1 .b-title p,.box-title-1 h3.b-title{font-size:14px!important;}

  • Câu 1:

    Khẳng định nào sau đây sai?

    • A.Nếu đường thẳng (d bot left( alpha right)) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong ((alpha))
       
    • B.Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong ((alpha)) thì (d bot left( alpha right))
    • C.Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ((alpha)) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong ((alpha))
    • D.Nếu (d bot left( alpha right)) và đường thẳng a || ((alpha)) thì (dbot a)
  • Câu 2:

    Trong không gian cho đường thẳng (Delta) và điểm O. Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với (Delta) cho trước

    • A.1
    • B.2
    • C.3
    • D.Vô số
  • Câu 3:

    Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d cho trước

    • A.1
    • B.2
    • C.3
    • D.vô số
  • Câu 4:

    Mệnh đề nào sau đây sai

    • A.Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song
    • B.Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song
    • C.Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
    • D.Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.
  • Câu 5:

    Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC. O là hình chiếu của S lên mặt đáy ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?

    • A.O là trọng tâm tam giác ABC
    • B.O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
    • C.O là trực tâm tam giác ABC
    • D.O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 3.19 trang 145 SBT Hình học 11

Bài tập 3.20 trang 145 SBT Hình học 11

Bài tập 3.21 trang 145 SBT Hình học 11

Bài tập 12 trang 102 SGK Hình học 11 NC

Xem thêm:  Hình học 11 Bài 5: Phép quay

Bài tập 13 trang 102 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 14 trang 102 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 15 trang 102 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 16 trang 103 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 17 trang 103 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 18 trang 103 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 19 trang 103 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 20 trang 103 SGK Hình học 11 NC

4. Hỏi đáp về bài 3 chương 3 hình học 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

Call Now Button