Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân | Tài liệu học tập và bài giảng online

Bạn đang cần tìm Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân | Tài liệu học tập và bài giảng online? Mọi ý kiến đóng góp với giasubachkhoa tại mục liên hệ để cộng đồng có thêm nhiều bài giảng và bài tập hay. Cảm ơn các bạn luôn ủng hộ chúng tôi.

Bài viết này về: Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân | Tài liệu học tập và bài giảng online

Cấp số nhân là một dãy số có tính chất đặc biệt. Bài giảng này sẽ cung cấp cho các em khái niệm cấp số nhân và các dạng toán liên quan, cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung phần này.

Contents

Xem thêm:  Toán 11 Bài 4: Vi phân

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

Dãy số (un) được xác định bởi (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\{{u_{n + 1}} = {u_n}.q}end{array}} right.,{rm{ }}n in {N^*})  gọi là cấp số nhân; (q) gọi là công bội.

1.2. Các tính chất

( bullet )  Số hạng thứ n được cho bởi công thức: ({u_n} = {u_1}{q^{n – 1}}).

( bullet ) Ba số hạng ({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}) là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi (u_{k + 1}^2 = {u_k}.{u_{k + 2}}).

( bullet ) Tổng (n) số hạng đầu tiên ({S_n}) được xác định bởi công thức :

Xem thêm:  Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn | Tài liệu học tập và bài giảng online

({S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = {u_1}frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}})

Bài tập minh họa

 

[wpcc-script type=”text/javascript”]
[wpcc-script type=”text/javascript” src=”https://ss.yomedia.vn/js/yomedia-sdk.js?v=3″ id=”s-8701f44d62d54250b122748815c71b40″]

 

[wpcc-script type=”text/javascript”]
[wpcc-script type=”text/javascript” src=”https://ss.yomedia.vn/js/yomedia-sdk.js?v=3″ id=”s-15c47dbd541741bd976281bcda70b78c”]

Vấn đề 1: Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số nhân

Phương pháp:

( bullet ) Dãy số (({u_n})) là một cấp số nhân ( Leftrightarrow frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q) không phụ thuộc vào n và (q) là công bội.

( bullet ) Ba số (a,b,c) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân ( Leftrightarrow ac = {b^2}).

( bullet ) Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua ({u_1}) và (q).

Xem thêm:  Hình học 11 Bài 5: Phép chiếu song song và hình biểu diễn của một hình không gian | Tài liệu học tập và bài giảng online

Ví dụ 1:

Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm ({u_1}) biết:

a) (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15}\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}end{array}} right.)          

b) (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11}\{{u_1} + {u_5} = frac{{82}}{{11}}}end{array}} right.)

Hướng dẫn:

a) Ta có: (left{ begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15\u_1^2left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} right) = 85end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{u_1}frac{{{q^4} – 1}}{{q – 1}} = 15\u_1^2frac{{{q^8} – 1}}{{{q^2} – 1}} = 85end{array} right.)

( Rightarrow {left( {frac{{{q^4} – 1}}{{q – 1}}} right)^2}left( {frac{{{q^2} – 1}}{{{q^8} – 1}}} right) = frac{{45}}{{17}} Leftrightarrow frac{{({q^4} – 1)(q + 1)}}{{(q – 1)({q^4} + 1)}} = frac{{45}}{{17}} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}q = 2\q = frac{1}{2}end{array} right.)

Từ đó ta tìm được ({u_1} = 1,{u_1} = 8).

b) Ta có: (left{ begin{array}{l}{u_1}left( {1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4}} right) = 11\{u_1}(1 + {q^4}) = frac{{82}}{{11}}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{u_1}q(1 + q + {q^2}) = frac{{39}}{{11}}\{u_1}(1 + {q^4}) = frac{{82}}{{11}}end{array} right.)

( Rightarrow frac{{{q^4} + 1}}{{{q^3} + {q^2} + q}} = frac{{82}}{{39}} Leftrightarrow q = 3,q = frac{1}{3}).

Xem thêm:  Toán 11 Ôn tập chương 2 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - Quan hệ song song | Tài liệu học tập và bài giảng online

 

Ví dụ 2:

Cho cấp số nhân (({u_n})) thỏa: (left{ begin{array}{l}{u_4} = frac{2}{{27}}\{u_3} = 243{u_8}end{array} right.).

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số.

c) Số (frac{2}{{6561}}) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số?

Hướng dẫn:

Gọi (q) là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

(left{ begin{array}{l}{u_1}{q^3} = frac{2}{{27}}\{u_1}{q^2} = 243.{u_1}{q^7}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{u_1}{q^3} = frac{2}{{27}}\{q^5} = frac{1}{{243}}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}q = frac{1}{3}\{u_1} = 2end{array} right.)

a) Năm số hạng đầu của cấp số là:({u_1} = 2,{u_2} = frac{2}{3},{u_3} = frac{2}{9};{u_4} = frac{2}{{27}},{u_5} = frac{2}{{81}}).

b) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số

({S_{10}} = {u_1}frac{{{q^{10}} – 1}}{{q – 1}} = 2.frac{{{{left( {frac{1}{3}} right)}^{10}} – 1}}{{frac{1}{3} – 1}} = 3left[ {1 – {{left( {frac{1}{3}} right)}^{10}}} right] = frac{{59048}}{{19683}}).

c) Ta có: ({u_n} = frac{2}{{{3^{n – 1}}}} Rightarrow {u_n} = frac{2}{{6561}} Leftrightarrow {3^{n – 1}} = 6561 = {3^8} Rightarrow n = 9)

Vậy (frac{2}{{6561}}) là số hạng thứ 9 của cấp số.

Xem thêm:  Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai | Tài liệu học tập và bài giảng online

 

Vấn đề 3: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân

Phương pháp: (a,b,c) theo thứ tự đó lập thành CSN ( Leftrightarrow ac = {b^2}).

 

Ví dụ 1: Tìm (x) biết (1,{x^2},6 – {x^2}) lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn:

Ta có: (1,{x^2},6 – {x^2}) lập thành cấp số nhân  ( Leftrightarrow {x^4} = 6 – {x^2} Leftrightarrow x =  pm sqrt 2 .)

 

Ví dụ 2: 

Tìm (x,y) biết:

a) Các số (x + 5y,5x + 2y,8x + y) lập thành cấp số cộng  và  các số

({left( {y – 1} right)^2},xy – 1,{left( {x + 1} right)^2}) lập thành cấp số nhân.

b) Các số (x + 6y,5x + 2y,8x + y) lập thành cấp số cộng và các số (x + frac{5}{3}y,y – 1,2x – 3y) lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn:

a) Ta có hệ: (left{ begin{array}{l}x + 5y + 8x + y = 2(5x + 2y)\{(x + 1)^2}{(y – 1)^2} = {(xy – 1)^2}end{array} right.) giải hệ này ta tìm được

Xem thêm:  Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác | Tài liệu học tập và bài giảng online

((x;y) = left( { – sqrt 3 ; – frac{{sqrt 3 }}{2}} right);left( {sqrt 3 ;frac{{sqrt 3 }}{2}} right)).

b) Ta có hệ: (left{ begin{array}{l}x + 6y + 8x + y = 2(5x + 2y)\(x + frac{5}{3}y)(2x – 3y) = {(y – 1)^2}end{array} right.) giải hệ này ta tìm được

((x;y) = left( { – 3; – 1} right);left( {frac{3}{8};frac{1}{8}} right)).

Cấp số nhân là một dãy số có tính chất đặc biệt. Bài giảng này sẽ cung cấp cho các em khái niệm cấp số nhân và các dạng toán liên quan, cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung phần này. 

3.1 Trắc nghiệm về cấp số nhân

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Xem thêm:  Hình học 11 Bài 4: Phép đối xứng tâm

.dsch li{list-style:none;}
.box-title-1 .b-title p,.box-title-1 h3.b-title{font-size:14px!important;}

  • Câu 1:

    Dãy số ({u_n} = {4.3^n}) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?

    • A.(q = 3)
    • B.(q = 2)
    • C.(q = 4)    
    • D.(q = emptyset )   
  • Câu 2:

    Dãy số ({u_n} = 3n – 1) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?

    • A.(q = 3)
    • B.(q = 2)
    • C.(q = 4)
    • D.(q = emptyset )
  • Câu 3:

    Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó.   

    • A.({u_1} = frac{2}{9};{u_2} = frac{2}{5};{u_3} = 2;{u_5} = 18;{u_6} = 54;{u_7} = 162)
    • B.({u_1} = frac{2}{7};{u_2} = frac{2}{3};{u_3} = 2;{u_5} = 18;{u_6} = 54;{u_7} = 162)
    • C.({u_1} = frac{2}{9};{u_2} = frac{2}{3};{u_3} = 2;{u_5} = 21;{u_6} = 54;{u_7} = 162)
    • D.({u_1} = frac{2}{9};{u_2} = frac{2}{3};{u_3} = 2;{u_5} = 18;{u_6} = 54;{u_7} = 162)
  • Câu 4:

    Tìm x biết (1,{x^2},6 – {x^2}) lập thành cấp số nhân.

    • A.(x =  pm 1)
    • B.(x =  pm sqrt 2 )
    • C.(x =  pm 2)
    • D.(x =  pm sqrt 3 )
  • Câu 5:

    Tìm (m) để phương trình ({x^3} – 3m{x^2} + 4mx + m – 2 = 0) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.

    • A.(left[ begin{array}{l}m =  – frac{1}{{27}}\m = 0end{array} right.)
    • B.(m in emptyset )
    • C.(left[ begin{array}{l}m =  – 1\m = 0end{array} right.)
    • D.(left[ begin{array}{l}m =  – frac{{10}}{{27}}\m = 0end{array} right.)

Câu 6 – Câu 16: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 32 trang 121 SGK Toán 11 NC

Bài tập 33 trang 121 SGK Toán 11 NC

Bài tập 34 trang 121 SGK Toán 11 NC

Bài tập 35 trang 121 SGK Toán 11 NC

Bài tập 36 trang 121 SGK Toán 11 NC

Xem thêm:  Hình học 11 Bài 1: Phép biến hình | Tài liệu học tập và bài giảng online

Bài tập 37 trang 121 SGK Toán 11 NC

Bài tập 38 trang 121 SGK Toán 11 NC

Bài tập 39 trang 122 SGK Toán 11 NC

Bài tập 40 trang 122 SGK Toán 11 NC

Bài tập 41 trang 122 SGK Toán 11 NC

Bài tập 42 trang 122 SGK Toán 11 NC

Bài tập 43 trang 122 SGK Toán 11 NC

4. Hỏi đáp về bài 4 chương 3 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

Call Now Button