Toán 11 Ôn tập chương 1 Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác | Tài liệu học tập và bài giảng online

Bạn đang cần tìm Toán 11 Ôn tập chương 1 Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác | Tài liệu học tập và bài giảng online? Mọi ý kiến đóng góp với giasubachkhoa tại mục liên hệ để cộng đồng có thêm nhiều bài giảng và bài tập hay. Cảm ơn các bạn luôn ủng hộ chúng tôi.

Bài viết này về: Toán 11 Ôn tập chương 1 Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác | Tài liệu học tập và bài giảng online

Nội dung bài ôn tập Chương Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác sẽ giúp các em có cái nhìn tổng quan về toàn bộ nội dung đã học trong chương 1 thông qua sơ đồ hệ thống hóa kiến thức và các bài tập ở mức độ khó cao hơn. Bên cạnh đó thông qua nội dung bài học, các em sẽ được tìm hiểu thêm một số dạng phương trình lượng giác đặc trưng không được giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11.

Contents

Xem thêm:  Hình học 11 Bài 5: Phép quay

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Hệ thống hóa kiến thức chương Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác

1.2. Một số dạng phương trình lượng giác đặc trưng khác và phương pháp giải

a) Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

Dạng phương trình:

(asin {}^2x + bsin xcos x + ccos {}^2x = d{rm{  (1) }})

(a, b, c, d: có ít nhất 2 hệ số khác không)

Phương pháp giải:

  • Cách 1:

Xét (cos x = 0 Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + kpi ,k in mathbb{Z}) có là nghiệm của (1) hay không

Xét (cos x ne 0), chia hai vế của (1) cho ({cos ^2}x) ta được:

(a{tan ^2}x + btan x + c = d(1 + {tan ^2}x))

( Leftrightarrow left( {a – d} right){tan ^2}x + btan x + c – d = 0)  (left( {1′} right))

Đặt (t = tan x)

Phương trình (left( {1′} right)) trở thành: ((a – d){t^2} + bt + c – d = 0{rm{   (2)}})

Xem thêm:  Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x  theo (t = tan x)

  • Cách 2: Sử dụng các công thức

 ({sin ^2}x = frac{{1 – cos 2x}}{2}); ({cos ^2}x = frac{{1 + cos 2x}}{2}); (sin xcos x = frac{{sin 2x}}{2})

Phương trình (1) trở thành:

(aleft( {frac{{1 – cos 2x}}{2}} right) + bfrac{{sin 2x}}{2} + cleft( {frac{{1 + cos 2x}}{2}} right) = d)

( Leftrightarrow bsin 2x + (c – a)cos 2x = 2d – a – c)

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x.

b) Phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sinx và cosx

Dạng phương trình:

(asin {}^3x + b{sin ^2}xcos x + csin x{cos ^2}x + dsin x + ecos x + fc{rm{o}}{{rm{s}}^3}x = 0{rm{    (1)  }})

(a, b, c, d, e, f: có ít nhất 2 hệ số khác không).

Phương pháp giải:

Xét (cos x = 0 Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + kpi ,k in mathbb{Z})có là nghiệm của (1) hay không

Xét(cos x ne 0), chia hai vế của (1) cho ({cos ^3}x)  ta được:

(a{tan ^3}x + b{tan ^2}x + ctan x + dtan x(1 + {tan ^2}x) + e(1 + {tan ^2}x) + f = 0)

( Leftrightarrow (a + d){tan ^3}x + (b + e){tan ^2}x + (c + d)tan x + e + f = 0) (left( {{rm{1′}}} right))

Đặt (t = tan x)

Phương trình (left( {{rm{1′}}} right)) trở thành:

((a + d){{mathop{rm t}nolimits} ^3} + (b + e){{mathop{rm t}nolimits} ^2} + (c + d){mathop{rm t}nolimits}  + e + f = 0)   (2)

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo (t = tan x)

c) Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

  • Dạng 1: (aleft( {sin x + cos x} right) + bsin xcos x + c = 0)
Xem thêm:  Toán 11 Ôn tập chương 2 Tổ hợp - Xác suất | Tài liệu học tập và bài giảng online

Phương pháp giải

Đặt (t = sin x + cos x = sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} right))

Điều kiện: (left| t right| le sqrt 2 )    (*)

Suy ra  (sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2})

Khi đó phương trình trở thành: (b{t^2} + 2at + 2c – b = 0)

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiên (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ bản (sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = t), suy ra x

Chú ý: Ta cũng có thể đặt (t = sin x + cos x = sqrt 2 c{rm{os}}left( {x – frac{pi }{4}} right)) và làm tương tự như trên.

  • Dạng 2: (aleft( {sin x – cos x} right) + bsin xcos x + c = 0)

Phương pháp giải

Đặt (t = sin x – cos x = sqrt 2 sin left( {x – frac{pi }{4}} right))

Điều kiện: (left| t right| le sqrt 2 )    (*)

Suy ra (sin xcos x = frac{{1 – {t^2}}}{2})

Khi đó phương trình trở thành: (b{t^2} – 2at – 2c – b = 0)

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiện  (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ bản (sqrt 2 sin left( {x – frac{pi }{4}} right) = t), suy ra x

d) Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx

  1. Dạng 1: (a({tan ^2}x + {cot ^2}x) + b(tan x + cot x) + c = 0)

Phương pháp giải

Điều kiện (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{sin x ne 0}\{cos x ne 0}end{array}} right. Leftrightarrow sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2},k in mathbb{Z})

Đặt (t = tan x + cot x), điều kiện (left| t right| ge 2)

Xem thêm:  Hình học 11 Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Suy ra ({tan ^2}x + {cot ^2}x = {t^2} – 2)

Phương trình trở thành:

(a({t^2} – 2) + bt + c = 0 Leftrightarrow a{t^2} + bt + c – 2a = 0)

Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (*), suy ra t

Giải phương trình (tan x + cot x = t)

Cách 1:

Ta có (tan x + frac{1}{{tan x}} = t Leftrightarrow {tan ^2}x – t.tan x + 1 = 0)

Đây là phương trình bậc hai theo tanx

Cách 2:

Ta có: (frac{{sin x}}{{cos x}} + frac{{cos x}}{{sin x}} = t Leftrightarrow frac{{{{sin }^2}x + {{cos }^2}x}}{{sin xcos x}} = t Leftrightarrow sin 2x = frac{2}{t})

Đây là phương trình cơ bản của sin2x

  1. Dạng 2: (a({tan ^2}x + {cot ^2}x) + b(tan x – cot x) + c = 0)

Điều kiện (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{sin x ne 0}\{cos x ne 0}end{array}} right. Leftrightarrow sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2}{rm{, }}k in mathbb{Z})

Đặt  (t = tan x – cot x). Khi đó ({tan ^2}x + {cot ^2}x = {t^2} + 2)

Phương trình trở thành:

(a({t^2} + 2) + bt + c = 0 Leftrightarrow a{t^2} + bt + c + 2a = 0)

Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (nếu có), suy ra t

Giải phương trình (tan x – cot x = t)

Cách 1:

Ta có (tan x – frac{1}{{tan x}} = t Leftrightarrow {tan ^2}x – ttan x – 1 = 0)

Đây là phương trình bậc hai theo tanx

Cách 2:

Ta có: (frac{{sin x}}{{cos x}} – frac{{cos x}}{{sin x}} = t Leftrightarrow frac{{{{sin }^2}x – {{cos }^2}x}}{{sin xcos x}} = t)

( Leftrightarrow frac{{ – 2cos 2x}}{{sin 2x}} = t Leftrightarrow cot 2x =  – frac{t}{2})

Đây là phương trình cơ bản của cot2x.

Xem thêm:  Toán 11 Bài 5: Xác suất của biến cố | Tài liệu học tập và bài giảng online

Bài tập minh họa

 

[wpcc-script type=”text/javascript”]
[wpcc-script type=”text/javascript” src=”https://ss.yomedia.vn/js/yomedia-sdk.js?v=3″ id=”s-8701f44d62d54250b122748815c71b40″]

 

[wpcc-script type=”text/javascript”]
[wpcc-script type=”text/javascript” src=”https://ss.yomedia.vn/js/yomedia-sdk.js?v=3″ id=”s-15c47dbd541741bd976281bcda70b78c”]

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 

Bài tập:

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) (tan x + frac{{cos x}}{{1 + sin x}} = 1)

b) (cot x = tan x + frac{{2cos 4x}}{{sin 2x}})

c) ({sin ^4}x + {cos ^4}x = 2sin xcos x – frac{1}{2}{cos ^2}2x)

d) (cos 7xcos 5x – sqrt 3 sin 2x = 1 – sin 7xsin 5x)

e) ({sin ^4}x + {cos ^4}left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{1}{4})

Hướng dẫn giải:

a) (tan x + frac{{cos x}}{{1 + sin x}} = 1)

Điều kiện: (left{ begin{array}{l}cos x ne 0\sin x ne  – 1end{array} right. Leftrightarrow x ne frac{pi }{2} + kpi ,k in mathbb{Z})

Khi đó (1)( Leftrightarrow frac{{sin x}}{{cos x}} + frac{{cos x}}{{1 + sin x}} = 1)

(begin{array}{l} Leftrightarrow sin xleft( {1 + sin x} right) + {cos ^2}x = cos xleft( {1 + sin x} right)\ Leftrightarrow sin x + 1 = cos xleft( {1 + sin x} right)end{array})

( Leftrightarrow left( {sin x + 1} right)left( {cos x – 1} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sin x =  – 1\cos x = 1end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x =  – frac{pi }{2} + kpi \x = k2pi end{array} right.,k in mathbb{Z})

So sánh với điều kiện (*) ta được nghiệm của (1) là (x = k2pi ) (left( {k in mathbb{Z}} right)).

 

b) (cot x = tan x + frac{{2cos 4x}}{{sin 2x}})

Điều kiện: (sin 2x ne 0 Leftrightarrow cos 2x ne  pm 1) (*)

Khi đó (2)( Leftrightarrow frac{{cos x}}{{sin x}} – frac{{sin x}}{{cos x}} = frac{{cos 4x}}{{sin xcos x}})( Leftrightarrow {cos ^2}x – {sin ^2}x = cos 4x)

Xem thêm:  Hình học 11 Bài 7: Phép vị tự

( Leftrightarrow cos 2x = cos 4x Leftrightarrow 2{cos ^2}2x – cos 2x – 1 = 0)

Đặt: (t = cos 2x,t in left( { – 1;1} right))

Bất phương trình trở thành: (2{t^2} – t – 1 = 0 Leftrightarrow  Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,(loai){rm{   }}}\{t =  – frac{1}{2}}end{array}} right.)

Với (cos 2x =  – frac{1}{2} Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{2x = frac{{2pi }}{3} + k2pi }\{2x =  – frac{{2pi }}{3} + k2pi }end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = frac{pi }{3} + kpi }\{x =  – frac{pi }{3} + kpi }end{array}} right.,k in mathbb{Z})

Vậy nghiệm của (2) là (x = frac{pi }{3} + kpi ), (x =  – frac{pi }{3} + kpi ) (left( {k in mathbb{Z}} right)).

 

c) ({sin ^4}x + {cos ^4}x = 2sin xcos x – frac{1}{2}{cos ^2}2x)

( Leftrightarrow 1 – 2{sin ^2}x{cos ^2}x = sin 2x – frac{1}{2}left( {1 – {{sin }^2}2x} right))

( Leftrightarrow 1 – frac{{{{sin }^2}2x}}{2} = sin 2x – frac{1}{2}left( {1 – {{sin }^2}2x} right))

( Leftrightarrow {sin ^2}2x + 2sin 2x – 3 = 0)

Đặt (t = sin 2x,t in left[ { – 1;1} right],) Bất phương trình trở thành:

({t^2} – 2t – 3 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 1\t =  – 3,(loai)end{array} right.)

Với (sin 2x = 1 Leftrightarrow 2x = frac{pi }{2} + k2pi  Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kpi ,k in mathbb{Z})

Vậy nghiệm của (3) là (x = frac{pi }{4} + kpi )(left( {k in mathbb{Z}} right)).

 

d) (cos 7xcos 5x – sqrt 3 sin 2x = 1 – sin 7xsin 5x)

( Leftrightarrow left( {cos 7xcos 5x + sin 7xsin 5x} right) – sqrt 3 sin 2x = 1)

Xem thêm:  Hình học 11 Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

(begin{array}{l} Leftrightarrow cos 2x – sqrt 3 sin 2x = 1 Leftrightarrow cos left( {2x + frac{pi }{3}} right) = frac{1}{2}\ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{2x + frac{pi }{3} = frac{pi }{3} + k2pi }\{2x + frac{pi }{3} =  – frac{pi }{3} + k2pi }end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = kpi {rm{         }}}\{x =  – frac{pi }{3} + kpi }end{array},} right.{rm{ }}k in mathbb{Z}end{array})

Vậy nghiệm của (4) là (x = kpi ), (x =  – frac{pi }{3} + kpi ) (left( {k in mathbb{Z}} right)).

 

e) ({sin ^4}x + {cos ^4}left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{1}{4})

( Leftrightarrow frac{{{{(1 – cos 2x)}^2}}}{4} + frac{{{{left[ {1 + cos (2x + frac{pi }{2})} right]}^2}}}{4} = frac{1}{4})( Leftrightarrow {(1 – cos 2x)^2} + {(1 – sin 2x)^2} = 1)

( Leftrightarrow cos 2x + sin 2x = 1 Leftrightarrow cos left( {2x – frac{pi }{4}} right) = frac{{sqrt 2 }}{2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2x – frac{pi }{4} = frac{pi }{4} + k2pi \2x – frac{pi }{4} =  – frac{pi }{4} + k2pi end{array} right.)

( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{pi }{4} + kpi \x = kpi end{array} right.{rm{, }}k in mathbb{Z})

Vậy nghiệm của (5) là (x = kpi ), (x = frac{pi }{4} + kpi )(left( {k in mathbb{Z}} right)).

 

Nội dung bài giảng đã giúp các em có các nhìn tổng quát về nội dung của chương 1 Giải tích lớp 12 và ôn tập phương pháp giải một số dạng bài tập trọng tâm.

3.1 Trắc nghiệm ôn tập chương 1

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Ôn tập chương I Ứng dụng hàm số lượng giác để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Xem thêm:  Hình học 11 Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc | Tài liệu học tập và bài giảng online

.dsch li{list-style:none;}
.box-title-1 .b-title p,.box-title-1 h3.b-title{font-size:14px!important;}

  • Câu 1:

    Tìm tập xác định của hàm số (y = frac{{1 – cos x}}{{2sin x + sqrt 2 }}.)

    • A.(mathbb{R}backslash left{ { pm frac{pi }{4} + k2pi ,k in mathbb{Z}} right})
    • B.(mathbb{R}backslash left{ { pm frac{{3pi }}{4} + k2pi ,k in mathbb{Z}} right})
    • C.(mathbb{R}backslash left{ {frac{pi }{4} + k2pi ,frac{{3pi }}{4} + k2pi ,k in mathbb{Z}} right})
    • D.(mathbb{R}backslash left{ { – frac{pi }{4} + k2pi ,frac{{5pi }}{4} + k2pi ,k in mathbb{Z}} right})
  • Câu 2:

    Tìm tập xác định của hàm số (y = frac{{tan x}}{{1 + tan x}}.)

    • A.(mathbb{R}backslash left{ {frac{pi }{2} + kpi ,frac{pi }{4} + kpi ,k in mathbb{Z}} right})
    • B.(mathbb{R}backslash left{ {frac{pi }{2} + kpi , – frac{pi }{4} + kpi ,k in mathbb{Z}} right})
    • C.(mathbb{R}backslash left{ {frac{pi }{2} + k2pi , – frac{pi }{4} + k2pi ,k in mathbb{Z}} right})
    • D.(mathbb{R}backslash left{ {frac{pi }{2} + k2pi ,frac{pi }{4} + k2pi ,k in mathbb{Z}} right})
  • Câu 3:

    Tìm giá trị lớn nhất của hàm số (y = 2cos left( {x + frac{pi }{3}} right) + 1.)

    • A.
    • B.1
    • C.3
    • D.(frac{pi }{3})
  • Câu 4:

    Tìm giá trị lớn nhất của hàm số (y = sqrt {1 + sin 2x} .)

    • A.-2
    • B.4
    • C.(sqrt 2 )
    • D.Không xác định
  • Câu 5:

    Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

    • A.(y = sin 2x)
    • B.(y = x.cos x)
    • C.(y = cos x.cot x)
    • D.(y = frac{{tan x}}{{sin x}}.)

Câu 6- Câu 15: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương I sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 5 trang 41 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 6 trang 41 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 7 trang 41 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 1.44 trang 40 SBT Toán 11

Bài tập 9 trang 41 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 1.45 trang 40 SBT Toán 11

Bài tập 8 trang 41 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 10 trang 41 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 1.46 trang 40 SBT Toán 11

Bài tập 1.47 trang 40 SBT Toán 11

Bài tập 1.48 trang 40 SBT Toán 11

Bài tập 1.49 trang 40 SBT Toán 11

4. Hỏi đáp chương 1 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

Call Now Button