Toán 11 Ôn tập chương 3 Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân | Tài liệu học tập và bài giảng online

Bạn đang cần tìm Toán 11 Ôn tập chương 3 Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân | Tài liệu học tập và bài giảng online? Mọi ý kiến đóng góp với giasubachkhoa tại mục liên hệ để cộng đồng có thêm nhiều bài giảng và bài tập hay. Cảm ơn các bạn luôn ủng hộ chúng tôi.

Bài viết này về: Toán 11 Ôn tập chương 3 Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân | Tài liệu học tập và bài giảng online

Nội dung bài ôn tập chương Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương 3 Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao.

Contents

Xem thêm:  Toán 11 Ôn tập chương 2 Tổ hợp - Xác suất | Tài liệu học tập và bài giảng online

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Tổng quát nội dung chương III

Sơ đồ tư duy Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân

1.2. Các dạng bài tập chương III

Các dạng bài tập dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Bài tập minh họa

 

[wpcc-script type=”text/javascript”]
[wpcc-script type=”text/javascript” src=”https://ss.yomedia.vn/js/yomedia-sdk.js?v=3″ id=”s-8701f44d62d54250b122748815c71b40″]

 

[wpcc-script type=”text/javascript”]
[wpcc-script type=”text/javascript” src=”https://ss.yomedia.vn/js/yomedia-sdk.js?v=3″ id=”s-15c47dbd541741bd976281bcda70b78c”]

Ví dụ 1: 

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên (n ge 1), ta luôn có:

a) ({1^2} + {2^2} + … + {(n – 1)^2} + {n^2} = frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6})   

b) (frac{1}{3} + frac{2}{{{3^2}}} + … + frac{n}{{{3^n}}} = frac{3}{4} – frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}})

Hướng dẫn giải:

a) Bước 1: Với (n = 1) ta có:

(VT = {1^2} = 1,{rm{ }}VP = frac{{1(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6} = 1 Rightarrow VT = VP)

Xem thêm:  Hình học 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song

( Rightarrow ) đẳng thức cho đúng với (n = 1).

Bước 2: Giả sử đẳng thức cho  đúng với (n = k ge 1), tức là:

({1^2} + {2^2} + … + {(k – 1)^2} + {k^2} = frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6})   (1)

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với (n = k + 1), tức là cần chứng minh:

({1^2} + {2^2} + … + {(k – 1)^2} + {k^2} + {(k + 1)^2} = frac{{(k + 1)(k + 1)(2k + 3)}}{6})  (2).

Thật vây:

(VT(2) = left[ {{1^2} + {2^2} + … + {k^2}} right] + {(k + 1)^2})(mathop  = limits^{{rm{do }}(1)} frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2})

                ( = (k + 1)left[ {frac{{2{k^2} + k}}{6} + k + 1} right] = frac{{(k + 1)(2{k^2} + 7k + 6)}}{6})

               ( = frac{{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}}{6} = VP(2))

( Rightarrow (2)) đúng ( Rightarrow )đẳng thức cho  đúng với mọi (n ge 1).

b) * Với (n = 1) ta có (VT = 1 = VP Rightarrow ) đẳng thức cho đúng với (n = 1)

* Giả sử đẳng thức cho đúng với (n = k ge 1), tức là:(frac{1}{3} + frac{2}{{{3^2}}} + … + frac{k}{{{3^k}}} = frac{3}{4} – frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}})   (1)

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho  đúng với (n = k + 1), tức là cần chứng minh

(frac{1}{3} + frac{2}{{{3^2}}} + … + frac{k}{{{3^k}}} + frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = frac{3}{4} – frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}})    (2).

Thật vậy:(VT(2) = frac{3}{4} – frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}} + frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = frac{3}{4} – frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = VP(2))

Xem thêm:  Hình học 11 Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc | Tài liệu học tập và bài giảng online

( Rightarrow (2)) đúng ( Rightarrow ) đẳng thức cho đúng.

Ví dụ 2:

Cho dãy số (({u_n}):left{ begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\{u_{n + 1}} = sqrt {{u_n}}  + sqrt {{u_{n – 1}}} {rm{ }}forall n ge 2end{array} right.). Chứng minh rằng dãy (({u_n})) là dãy tăng và bị chặn.

Hướng dẫn giải:

Ta chứng minh dãy (({u_n})) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp

* Dễ thấy: ({u_1} < {u_2} < {u_3}).

* Giả sử ({u_{k – 1}} < {u_k}{rm{ }}forall k ge 2), ta chứng minh ({u_{k + 1}} < {u_k}). Thật vậy:

({u_{k + 1}} = sqrt {{u_k}}  + sqrt {{u_{k – 1}}}  > sqrt {{u_{k – 1}}}  + sqrt {{u_{k – 2}}}  = {u_k})

Vậy (({u_n})) là dãy tăng.

Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được ({u_n} < 4{rm{ }}forall n), hơn nữa ({u_n} > 0)

Nên dãy (({u_n})) là dãy bị chặn.

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng :

a) Nếu phương trình ({x^3} – a{x^2} + bx – c = 0) có ba nghiệm lập thành CSC thì (9ab = 2{a^3} + 27c)

b) Nếu phương trình ({x^3} – a{x^2} + bx – c = 0) có ba nghiệm lập thành CSN thì (c(c{a^3} – {b^3}) = 0)

Xem thêm:  Toán 11 Ôn tập cuối năm Phần Đại số và Giải tích | Tài liệu học tập và bài giảng online

Hướng dẫn:

a) Giả sử phương trình  có ba nghiệm ({x_1},{x_2},{x_3}) lập thành CSC

Suy ra: ({x_1} + {x_3} = 2{x_2}) (1)

Mặt khác: ({x^3} – a{x^2} + bx – c = (x – {x_1})(x – {x_2})(x – {x_3}))

                      ( = {x^3} – ({x_1} + {x_2} + {x_3}){x^2} + ({x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1})x – {x_1}{x_2}{x_3})

Suy ra ({x_1} + {x_2} + {x_3} = a)  (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra (3{x_2} = a) hay ({x_2} = frac{a}{3})

Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm ({x_2} = frac{a}{3}), tức là:

({left( {frac{a}{3}} right)^3} – a{left( {frac{a}{3}} right)^2} + bleft( {frac{a}{3}} right) – c = 0 Leftrightarrow  – frac{{2{a^3}}}{{27}} + frac{{ba}}{3} – c = 0 Leftrightarrow 9ab = 2{a^3} + 27c)

Ta có đpcm.

b) Giả sử ba nghiệm ({x_1},{x_2},{x_3}) lập thành CSN, suy ra ({x_1}{x_3} = x_2^2)

Theo phân tích bài trên, ta có: ({x_1}{x_2}{x_3} = c Rightarrow x_2^3 = c Rightarrow {x_2} = sqrt[3]{c})

Hay phương trình đã cho có nghiệm ({x_2} = sqrt[3]{c}), tức là:

({left( {sqrt[3]{c}} right)^3} – a{left( {sqrt[3]{c}} right)^2} + bsqrt[3]{c} – c = 0 Leftrightarrow bsqrt[3]{c} = asqrt[3]{{{c^2}}} Leftrightarrow c(c{a^3} – {b^3}) = 0)

Bài toán được chứng minh.

Ví dụ 4:

a) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng (tan frac{A}{2};tan frac{B}{2};)

(tan frac{C}{2}) lập thành cấp số cộng ( Leftrightarrow cos A;cos B;cos C) lập thành cấp số cộng.

Xem thêm:  Toán 11 Bài 3 :Cấp số cộng | Tài liệu học tập và bài giảng online

b) Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng (cot frac{A}{2};cot frac{B}{2};cot frac{C}{2}) lập thành cấp số cộng ( Leftrightarrow sin A;sin B;sin C) lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: (tan frac{A}{2};tan frac{B}{2};tan frac{C}{2}) lập thành cấp số cộng

( Leftrightarrow tan frac{A}{2} + tan frac{C}{2} = 2tan frac{B}{2} Leftrightarrow frac{{sin (frac{A}{2} + frac{C}{2})}}{{cos frac{A}{2}cos frac{C}{2}}} = 2frac{{sin frac{B}{2}}}{{cos frac{B}{2}}})

( Leftrightarrow {cos ^2}frac{B}{2} = sin frac{B}{2}left[ {cos left( {frac{A}{2} + frac{C}{2}} right) + cos left( {frac{A}{2} – frac{C}{2}} right)} right])

( Leftrightarrow frac{{1 + cos B}}{2} = frac{{1 – cos B}}{2} + frac{1}{2}left[ {cos A + cos C} right])

( Leftrightarrow cos B = frac{{cos A + cos C}}{2} Leftrightarrow cos A,cos B,cos C) lập thành CSC.

b) Ta có: (cot frac{A}{2} – cot frac{B}{2} = cot frac{B}{2} – cot frac{C}{2})

( Leftrightarrow frac{{cos frac{A}{2}sin frac{B}{2} – cos frac{B}{2}sin frac{A}{2}}}{{sin frac{A}{2}sin frac{B}{2}}} = frac{{cos frac{B}{2}sin frac{C}{2} – cos frac{C}{2}sin frac{B}{2}}}{{sin frac{C}{2}sin frac{B}{2}}})

( Leftrightarrow sin frac{{B – A}}{2}cos frac{{B + A}}{2} = sin frac{{C – B}}{2}.cos frac{{C + B}}{2})

( Leftrightarrow sin B – sin A = sin C – sin B Leftrightarrow sin A + sin C = 2sin B).

Nội dung bài ôn tập chương Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương 3 Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Ôn tập chương III để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

.dsch li{list-style:none;}
.box-title-1 .b-title p,.box-title-1 h3.b-title{font-size:14px!important;}

  • Câu 1:

    Cho một cấp số cộng (({u_n})) có ({u_1} = 1) và tổng 100 số hạng đầu bằng (24850). Tính  (S = frac{1}{{u_1^{}{u_2}}} + frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + … + frac{1}{{{u_{49}}{u_{50}}}})

    • A.(S = frac{9}{{246}})
    • B.(S = frac{4}{{23}})
    • C.(S = 123)
    • D.(S = frac{{49}}{{246}})
  • Câu 2:

    Dãy số ({u_n} =  – 3n + 1) có phải là cấp số cộng không? Nếu phải hãy xác định số công sai?

    • A.(d =  – 2)         
    • B.(d = 3)
    • C.(d =  – 3)
    • D.(d = 1)
  • Câu 3:

    Dãy số ({u_n} = frac{2}{n}) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?

    • A.(q = 3)
    • B.(q = frac{1}{2})
    • C.(q = 4)
    • D.(q = emptyset )   
  • Câu 4:

    Cho dãy số (({u_n})) với ({u_n} = {3^{frac{n}{2} + 1}}.) Tìm công bội của dãy số (un). 

    • A.(q = frac{3}{2})
    • B.(q = sqrt 3 )
    • C.(q = frac{1}{2})
    • D.(q = 3)
  • Câu 5:

    Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng ( – 9) và tổng các bình phương của chúng bằng 29.

    • A.(1;2;3)
    • B.( – 4; – 3; – 2)
    • C.( – 2; – 1;0)
    • D.( – 3; – 2; – 1)
  • Câu 6:

    Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.  

    • A.(b = 15,c = 20,d = 25,a = 12)
    • B.(b = 16,c = 20,d = 25,a = 12)    
    • C.(b = 15,c = 25,d = 25,a = 12)
    • D.(b = 16,c = 20,d = 25,a = 18)
  • Câu 7:

    Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{u_7} – {u_3} = 8}\{{u_2}.{u_7} = 75}end{array}} right.). Tìm ({u_1},d)?

    • A.(left{ begin{array}{l}d = 2\{u_1} = 2,{u_1} =  – 17end{array} right.)
    • B.(left{ begin{array}{l}d = 2\{u_1} = 3,{u_1} =  – 7end{array} right.)
    • C.(left{ begin{array}{l}d = 2\{u_1} =  – 3,{u_1} =  – 17end{array} right.)
    • D.(left{ begin{array}{l}d = 2\{u_1} = 3,{u_1} =  – 17end{array} right.)
  • Câu 8:

    Cho các số (5x – y,{rm{ }}2x + 3y,{rm{ }}x + 2y) lập thành cấp số cộng ; các số ({left( {y + 1} right)^2},xy + 1,{left( {x – 1} right)^2}) lập thành cấp số nhân.Tính (x,y)

    • A.((x;y) = left( {0;0} right);left( {frac{1}{3};frac{4}{3}} right);left( { – frac{3}{4}; – frac{3}{{10}}} right))
    • B.((x;y) = left( {0;0} right);left( {frac{{10}}{3};frac{4}{3}} right);left( { – frac{3}{4}; – frac{3}{{10}}} right))
    • C.((x;y) = left( {1;0} right);left( {frac{{11}}{3};frac{4}{3}} right);left( { – frac{3}{4}; – frac{3}{{10}}} right))
    • D.((x;y) = left( {0;1} right);left( {frac{{10}}{3};frac{4}{3}} right);left( { – frac{{13}}{4}; – frac{{13}}{{10}}} right))   

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương III sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 55 trang 125 SGK Toán 11 NC

Bài tập 56 trang 125 SGK Toán 11 NC

Bài tập 57 trang 125 SGK Toán 11 NC

Bài tập 1 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Xem thêm:  Toán 11 Bài 5: Xác suất của biến cố | Tài liệu học tập và bài giảng online

Bài tập 2 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 4 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 5 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 6 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 7 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 8 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 9 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Xem thêm:  Toán 11 Ôn tập cuối năm Phần Đại số và Giải tích | Tài liệu học tập và bài giảng online

4. Hỏi đáp về bài 5 chương 3 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

Call Now Button