Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số | Tài liệu học tập và bài giảng online

Bạn đang cần tìm Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số | Tài liệu học tập và bài giảng online? Mọi ý kiến đóng góp với giasubachkhoa tại mục liên hệ để cộng đồng có thêm nhiều bài giảng và bài tập hay. Cảm ơn các bạn luôn ủng hộ chúng tôi.

Bài viết này về: Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số | Tài liệu học tập và bài giảng online

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền, các phương pháp ứng dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đi kèm với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập ở dạng toán này.

Xem thêm:  Toán 12 Ôn tập chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số | Tài liệu học tập và bài giảng online

Contents

Xem thêm:  Toán 12 Ôn tập chương 3 Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng | Tài liệu học tập và bài giảng online

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Định nghĩa

Cho hàm số (y=f(x)) xác định trên tập D.

  • M được gọi là GTLN của (f(x)) trên D nếu: (left{begin{matrix} f(x)leq M\ exists x_0, f(x_0)=M end{matrix}right.).

  • m được gọi là GTNN của (f(x)) trên D nếu:  (left{begin{matrix} mleq f(x), forall xin D\ forall x_0in D, f(x_0)=m end{matrix}right.).

2.2. Các phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số

a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D 

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số (y=f(x)) xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.

Xem thêm:  Toán 12 Ôn tập chương 4 Số phức | Tài liệu học tập và bài giảng online

b) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

  • Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

  •  Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số (f(x)) liên tục trên một đoạn ([a;b].)

    • Tìm các điểm (x_iin (a ; b)) (i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó (f'(x_i)=0) hoặc (f'(x_i)) không xác định.

    • Tính (f(x),f(b),f(x_i)) (i = 1, 2, . . . , n).

    • Khi đó :  

Bài tập minh họa

 

[wpcc-script type=”text/javascript”]
[wpcc-script type=”text/javascript” src=”https://ss.yomedia.vn/js/yomedia-sdk.js?v=3″ id=”s-8701f44d62d54250b122748815c71b40″]

 

[wpcc-script type=”text/javascript”]
[wpcc-script type=”text/javascript” src=”https://ss.yomedia.vn/js/yomedia-sdk.js?v=3″ id=”s-15c47dbd541741bd976281bcda70b78c”]

3.1. Dạng 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D

Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a) Hàm số (y=x^3-3x^2-9x+5).

b) Hàm số (y=frac{x^2+2x+3}{x-1},xin(1;3].)

Lời giải:

a) Hàm số (y=x^3-3x^2-9x+5).

  • TXĐ: (D=mathbb{R}.)

  • (y’=3x^2-6x-9.)

  • (y’ = 0 Leftrightarrow 3{x^2} – 6x – 9 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = – 1\ x = 3 end{array} right.)

  • Bảng biến thiên:

Xem thêm:  Toán 12 Ôn tập cuối năm phần Giải tích | Tài liệu học tập và bài giảng online

  • Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

b)  Xét hàm số (y=frac{x^2+2x+3}{x-1}) xác định trên ((1;3].)

  • ​(y’=frac{x^2-2x-5}{(x+1)^2})

  • (y’ = 0 Rightarrow {x^2} – 2x – 5 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 1 + sqrt 6 notin left( {1;3} right]\ x = 1 – sqrt 6 notin left( {1;3} right] end{array} right.)

  • Bảng biến thiên:

  • Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất (mathop {Min}limits_{x in (1;3]} y = 9), Hàm số không có giá trị lớn nhất.

3.2. Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a) Hàm số (y = fleft( x right) = – frac{1}{3}{x^3} + {x^2} – 2x + 1) trên đoạn (left[ { – 1;0} right]).

b) Hàm số (y = fleft( x right) = frac{{2x + 1}}{{x – 2}}) trên đoạn (left[ { – frac{1}{2};1} right]).

c) Hàm số (y = fleft( x right) = {sin ^2}x – 2cos x + 2).

Xem thêm:  Toán 12 Bài 2: Tích phân | Tài liệu học tập và bài giảng online

Lời giải:

 a) Hàm số (y = fleft( x right) = – frac{1}{3}{x^3} + {x^2} – 2x + 1) xác định trên đoạn (left[ { – 1;0} right]).

  • ({f^/}left( x right) = – {x^2} + 2x – 2)

  • ({f^/}left( x right) = 0 Leftrightarrow – {x^2} + 2x – 2 = 0)

  • Ta có: (fleft( { – 1} right) = frac{{11}}{3};fleft( 0 right) = 1).

  • Vậy: (mathop {max fleft( x right)}limits_{left[ { – 1;0} right]} = frac{{11}}{3}); (mathop {min fleft( x right)}limits_{left[ { – 1;0} right]} = 1)

b) Hàm số (y = fleft( x right) = frac{{2x + 1}}{{x – 2}}) xác định trên đoạn (left[ { – frac{1}{2};1} right])

  • ({f^/}left( x right) = – frac{5}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}} < 0,forall x inleft [ -frac{1}{2};1 right ])

  • Ta có: (fleft( { – frac{1}{2}} right) = 0;fleft( 1 right) = – 3)

  • Vậy: (mathop {max fleft( x right)}limits_{left[ { – frac{1}{2};1} right]} = 0); (mathop {min fleft( x right)}limits_{left[ { – frac{1}{2};1} right]} = – 3)

c)  Hàm số (y = fleft( x right) = {sin ^2}x – 2cos x + 2).

  • TXĐ: (D=mathbb{R})

  • Ta có: (fleft( x right) = {sin ^2}x – 2cos x + 2 = – c{rm{o}}{{rm{s}}^2}x – 2co{mathop{rm s}nolimits} x + 3)

  • Đặt: (t = {cos ^2}x) suy ra (t in left[ { – 1;1} right];forall x in mathbb{R}).

  • Xét hàm số: (gleft( t right) = – {t^2} – 2t + 3) trên đoạn ([-1;1]).

    • Ta có: ({g^/}left( t right) = – 2t – 2)

    •   ({g^/}left( t right) = 0 Leftrightarrow t = – 1)

    • Tính: (gleft( { – 1} right) = 4;gleft( 1 right) = 0).

  • Vậy: (max f(x) = mathop {max }limits_{{rm{[}} – 1;1]} g(t) = 4); (min f(x) = mathop {min }limits_{{rm{[}} – 1;1]} g(t) = 0).

Xem thêm:  Hình học 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện | Tài liệu học tập và bài giảng online

HOC247 giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất, trọng tâm bài học các em cần phải nắm được hai phương pháp tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

4.1. Trắc nghiệm GTLN và GTNN của hàm số

Để kiểm tra xem đã nắm được bài học hay chưa, cũng như rèn luyện khả năng giải bài tập, xin mời các em làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 3. 

.dsch li{list-style:none;}
.box-title-1 .b-title p,.box-title-1 h3.b-title{font-size:14px!important;}

  • Câu 1:

    Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số (y = {x^3} – 3{x^2} – 9x + 6) trên (left[ { – 4;4} right]).

    • A.(mathop {Min}limits_{left[ { – 4;4} right]} y = 21)
    • B.(mathop {Min}limits_{left[ { – 4;4} right]} y = – 14)
    • C.(mathop {Min}limits_{left[ { – 4;4} right]} y = 11)
    • D.(mathop {Min}limits_{left[ { – 4;4} right]} y = – 70)
  • Câu 2:

    Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số (y = xsqrt {1 – {x^2}}) trên tập xác định. Tính M-m.

    • A.1
    • B.2
    • C.3
    • D.4
  • Câu 3:

    Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số (fleft( x right) = sin x – sqrt 3 {mathop{rm cosx}nolimits}) trên khoảng (left( {0;pi } right).)  

    • A.(M=2)
    • B.(M=sqrt3)
    • C.(M=1)
    • D.(M=-sqrt3)
  • Câu 4:

    Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số (y = log _2^2x – 4{log _2}x + 1) trên đoạn [1;8].

    • A.m=-2
    • B.m=1
    • C.m=-3
    • D.m=-5
  • Câu 5:

    Tìm giá trị của m để hàm số (y = – {x^3} – 3{x^2} + m)  có giá trị nhỏ nhất trên [-1;1] bằng 0?

    • A.m=0
    • B.m=6
    • C.m=4
    • D.m=2

Câu 6- Câu 15: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 17 trang 22 SGK Toán 12 NC

Bài tập 18 trang 22 SGK Toán 12 NC

Bài tập 19 trang 22 SGK Toán 12 NC

Bài tập 20 trang 22 SGK Toán 12 NC

Bài tập 21 trang 22 SGK Toán 12 NC

Xem thêm:  Toán 12 Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học | Tài liệu học tập và bài giảng online

Bài tập 22 trang 23 SGK Toán 12 NC

Bài tập 23 trang 23 SGK Toán 12 NC

Bài tập 24 trang 23 SGK Toán 12 NC

Bài tập 25 trang 23 SGK Toán 12 NC

Bài tập 26 trang 23 SGK Toán 12 NC

Bài tập 27 trang 24 SGK Toán 12 NC

Bài tập 28 trang 24 SGK Toán 12 NC

5. Hỏi đáp về GTLN và GTNN của hàm số

Nếu có thắc mắc cần giải đáp, các em có thể đặt câu hỏi trong phầnHỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Xem thêm:  Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm | Tài liệu học tập và bài giảng online
Call Now Button