Toán 12 Bài 4: Đường tiệm cận | Tài liệu học tập và bài giảng online

Bạn đang cần tìm Toán 12 Bài 4: Đường tiệm cận | Tài liệu học tập và bài giảng online? Mọi ý kiến đóng góp với giasubachkhoa tại mục liên hệ để cộng đồng có thêm nhiều bài giảng và bài tập hay. Cảm ơn các bạn luôn ủng hộ chúng tôi.

Bài viết này về: Toán 12 Bài 4: Đường tiệm cận | Tài liệu học tập và bài giảng online

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm khái niệm Tiệm cận của đồ thị hàm số, biết được các phương pháp tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang của đồ thì hàm số, cùng với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em biết cách giải được hầu hết các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Contents

Xem thêm:  Hình học 12 Ôn tập chương 3 Phương pháp toạ độ trong không gian | Tài liệu học tập và bài giảng online

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Đường tiệm cận ngang

a) Định nghĩa

Đường thẳng (y=b) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = f(x)) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

  • (lim_{xrightarrow -infty } f(x) = b)
  •  (lim_{xrightarrow +infty } f(x) = b)


b) Chú ý

  • Điều kiện để đồ thị hàm số (y = frac{P(x)}{Q(x)})   có tiệm cận ngang là bậc của đa thức P(x) bé hơn hoặc bằng bậc của đa thức Q(x).
  • Tổng quát: Xét hàm số (y = frac{a_nx^n + … + a_0}{b_mx^m + … + b_0} m, n in N; a_nneq 0; b_mneq 0). 
    • Điều kiện để hàm số có tiệm cận ngang là (nleq m.)
    • Nếu (n=m): tiệm cận ngang là đường thẳng (y = frac{a_n}{b_m})
    • Nếu (n

a) Định nghĩa

Đường thẳng (x=a) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (y = f(x)) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

  • (lim_{xrightarrow a^+} f(x) = pm infty)
  • (lim_{xrightarrow a^-} f(x) = pm infty)

b) Chú ý

  • Đường thẳng (x=a) là đường tiệm cận đứng của đồ thị (y = f(x)) thì a không thuộc tập xác định của (f(x)).
  • Đối với hàm phân thức (y = frac{P(x)}{Q(x)}) thì a là nghiệm Q(x)=0.

Bài tập minh họa

 

[wpcc-script type=”text/javascript”]
[wpcc-script type=”text/javascript” src=”https://ss.yomedia.vn/js/yomedia-sdk.js?v=3″ id=”s-8701f44d62d54250b122748815c71b40″]

 

[wpcc-script type=”text/javascript”]
[wpcc-script type=”text/javascript” src=”https://ss.yomedia.vn/js/yomedia-sdk.js?v=3″ id=”s-15c47dbd541741bd976281bcda70b78c”]

  • Ví dụ 1:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y=frac{2x-1}{x+2}).

Xem thêm:  Hình học 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng | Tài liệu học tập và bài giảng online

Lời giải:

TXĐ: (D = mathbb{R}backslash left{ -2 right})

Ta có: 

​(begin{array}{l} mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = 2\ mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = 2 end{array})

Vậy đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y=frac{2x-1}{x+2}).

Ta có:

(begin{array}{l} mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 2} right)}^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 2} right)}^ – }} frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = – infty \ mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 2} right)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 2} right)}^ + }} frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = + infty end{array})

Xem thêm:  Hình học 12 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian | Tài liệu học tập và bài giảng online

Vậy đường thẳng x=-2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (y=frac{2x-1}{x+2}).

  • Ví dụ 2:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}.)

Lời giải: 

TXĐ: (D = mathbb{R}backslash left{1 right})​

Ta có:

(begin{array}{l} mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = + infty \ mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = – infty end{array})

Vậy đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (y = frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}.)

Ta có:

(begin{array}{l} mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = + infty \ mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = – infty end{array})

Xem thêm:  Toán 12 Ôn tập cuối năm phần Giải tích | Tài liệu học tập và bài giảng online

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

  • Ví dụ 3:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = frac{{sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.)

Lời giải:

TXĐ: (D = mathbb{R}backslash left{0right})​

Ta có:

(mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{ – xsqrt {1 + frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = – 1)

Suy ra đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = frac{{sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.)

Ta có:

(mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{xsqrt {1 + frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = 1)

Suy ra đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = frac{{sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.)

Ta có:

(mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} frac{{sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = – infty)

Xem thêm:  Toán 12 Ôn tập chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit | Tài liệu học tập và bài giảng online

(mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = + infty)

Suy ra đường thẳng x=0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (y = frac{{sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.)

  • Ví dụ 4:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = 1 + sqrt {1 – {x^2}}).

Lời giải: 

Ta có: (y = 1 + sqrt {1 – {x^2}} Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 1 le x le 1\ y ge 1\ {x^2} + {(y – 1)^2} = 1 end{array} right.)

Do đó đồ thị hàm số là nửa đường tròn tâm I(0;1) bán kính R=1.

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận.

Để tìm được Tiệm cận đòi hỏi đầu tiên các em cần ôn lại bài Giới hạn hàm số đã được học ở lớp 11.

Để ôn luyện bài tập tốt hơn, xin mời các em cùng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 4

.dsch li{list-style:none;}
.box-title-1 .b-title p,.box-title-1 h3.b-title{font-size:14px!important;}

  • Câu 1:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng ((2;+infty )) và thỏa mãn (mathop {lim }limits_{x to + infty } f(x) = 1.) Khẳng định nào sau đây là đúng?

    • A.Đường thẳng y =1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x).
    • B.Đường thẳng y =1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x).
    • C.Đường thẳng x = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x).
    • D.Đường thẳng x =1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x).
  • Câu 2:

    Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = frac{{3x – 1}}{{2x – 1}}?)

    • A.(y = 1.)
    • B.(y = frac{3}{2}.)
    • C.(y = frac{1}{2}.)
    • D.(y = frac{1}{3}.)
  • Câu 3:

    Cho hàm số (y = frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{sqrt {{x^4} – 3{x^2} + 2} }}.)  Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

    • A.1
    • B.3
    • C.5
    • D.6
  • Câu 4:

    Tìm m để đồ thị hàm số (y=frac{{mx – 1}}{{x – m}}) có tiệm cận đứng.

    • A.(m notin left{ { – 1;1} right})
    • B.(mneq 1)
    • C.(mneq -1) 
    • D.Không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 5- Câu 12: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 30 SGK Giải tích 12

Bài tập 2 trang 30 SGK Giải tích 12

Bài tập 1.47 trang 24 SBT Toán 12

Bài tập 1.48 trang 24 SBT Toán 12

Bài tập 1.49 trang 24 SBT Toán 12

Bài tập 1.50 trang 25 SBT Toán 12

Xem thêm:  Hình học 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng | Tài liệu học tập và bài giảng online

Bài tập 1.51 trang 25 SBT Toán 12

Bài tập 1.52 trang 25 SBT Toán 12

Bài tập 1.53 trang 25 SBT Toán 12

Bài tập 1.54 trang 25 SBT Toán 12

Bài tập 1.55 trang 25 SBT Toán 12

5. Hỏi đáp về Đường tiệm cận

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

 

Call Now Button